Тренировочный вариант ЕГЭ по профильной математике

Тренировочный вариант №1

Вариант для подготовки к ЕГЭ по профильной математике.

Загрузить в PDF

$AD$ - диаметр окружности, $AC$ - биссектриса угла $BAD$. Известно, что угол $BAD$ равен $68^\circ$. Найдите угол $BEA$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec a(2; 4)$ и $\vec b(-1; 3)$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec a$ и $\vec a + \vec b$.
Объем треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равен 18. Точка $F$ - середина $BC$. Найдите объем пирамиды $ACFA_1$.

В среднем на 5000 автомобилей, выпущенных заводом, 100 машин содержат производственный брак. Найдите вероятность того, что случайно выбранный автомобиль не является бракованным.
Стрелок выполняет выстрелы по одному разу в каждую из пяти мишеней. Вероятность попадания при каждом выстреле равна $0,8$. Найдите вероятность того, что он поразит ровно $3$ мишени.
Найдите корень уравнения $\log_8(2x - 4) = 2$.
Найдите значение выражения $\dfrac {3 \sin (84^\circ)} {2\sin(42^\circ) \cdot \cos^2(21^\circ) - \sin(42^\circ)}$.
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(−7; 8)$. Найдите количество точек максимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-5; 5]$.

К источнику с ЭДС $\epsilon = 150$В и внутренним сопротивлением $r = 2$ Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле $U = \dfrac {\epsilon R} {R + r}.$ При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно $100$ В?
Два спортсмена одновременно стартовали в беге на 10 км. Первый бежал со средней скоростью на 5 км/ч больше, чем второй, и прибежал на 6 минут быстрее. Найдите скорость второго спортсмена. Ответ дайте в км/ч.
На рисунке изображен график функции $f(x)$ вида $\dfrac {k} {x - 2} - 1$. Определите, чему равно $f(1)$.

Найдите точку минимума функции $(5 - x)\cdot e^{5 - x} $.
1. Решите уравнение $\sqrt{\sin 4x + \ctg 4x \cdot \cos 4x - 1} = -\sqrt{\cos^2 4x}$.
2. Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac {7\pi} {2} ; 5\pi\right]$.
Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Известно, что его основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ -- квадраты. Отрезок, соединяющий середины рёбер $AD$ и $B_1C_1$, перпендикулярен основаниям.
1. Докажите, что грани $AA_1B_1B$ и $ABCD$ перпендикулярны.
2. Найдите расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC$, если $AD = 1$, $B_1B$ = 2.
Решите неравенство: $$\frac{\log_{|x-1|}(x^2 - 2x + 2) \cdot \log_{x+2}(x^2 + 4x + 4)}{\log_2^2(4 - x) - \log_2(16 - 8x + x^2)} \geq 0.$$
В июле $2025$ года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере $S$ млн рублей, где $S$ — целое число. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Найдите наименьшее значение $S$, при котором каждая из выплат будет составлять целое число миллионов рублей.

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $D$ так, что $BC = BD$. На луче $DC$ отмечена точка $E$ так, что $AC$ - биссектриса треугольника $ADE$. Известно, что $\angle DCA = 3 \angle DAC$.
- Докажите, что треугольник $ADE$ равнобедренный.
- Найдите отношение $AD : DB$, если известно, что $\cos \angle DAE = \frac 3 4$.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых функция $$f(x) = x^2\cos a - 2x \sin a - \sin a$$ является квадратом линейной функции.
Из пары натуральных чисел $(m, n)$, где $m > n$, за один ход получают пару $(m + n, m - n)$.
1. Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(200; 1)$ пару, большее число в которой равно $800$?
2. Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(200; 1)$ пару $(1620; 1580)$?
3. Какое наименьшее $m$ может быть в паре $(m, n)$, из которой за несколько ходов можно получить пару $(1620; 1580)$?